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Teoría cuántica de conjuntos

Comentario previo

En un primer momento nuestra discusión sobre el tema del presente blog fue en torno a la idea de «La teoría de conjuntos en la computación cuántica», durante las primeras semanas investigamos sobre el tema, discutimos sobre el mismo y buscamos referencias. En este proceso encontramos que en efecto existe una relación intrínseca entre la teoría de conjuntos y la computación cuántica, sin embargo en nuestra búsqueda encontramos un artículo académico titulado «Quantum Set Theory», lo leímos y nos llamó bastante la atención, nos pareció que abarcar este tema puede ser mucho más conveniente para la clase y a su vez mucho más interesante por la relación casi que directa entre la teoría de conjuntos y la teoría cuántica de conjuntos.

¿Teoría cuántica de conjuntos? Pueda sonar un poco extraño, -al menos para nosotos la primera vez que leímos esas tres palabras juntas lo fue-. En 1981 el matemático Gaisi Takeuti (1926-2017), publicó un artículo académico titulado «Quantum Set Theory»[1] presentando por primera vez una teoría de conjuntos basada en la lógica cuántica.

Takeuti menciona que este tipo de matemáticas son demasiado gigantescas para ver claramente a través de ellas y dice que su objetivo con el artículo es marcar una línea de partida en el tema: define la teoría y establece su relación con las matemáticas clásicas.

Introdujo la noción de conmutador y demostró mediante esta que los axiomas de ZFC, los mismos que hemos visto en clase: del infinito, del par, de la unión, de reemplazo, del conjunto potencia, de buena fundamentación, de comprensión y de elección; se mantienen en la teoría cuántica de conjuntos. También utiliza herramientas que aparecen en el programa de la materia como la inducción transfinita para probar algunas proposiciones.

Hoja de Ruta

Tenemos un claro punto de partida: el artículo ya mencionado. En un primer momento nuestro objetivo será presentar el trabajo de Takeuti, algunos conceptos previos utilizados por él y por supuesto sus resultados y demostraciones. Paralelamente pensamos en realizar posts alternativos, por ejemplo hablando de quién fue Takeuti y demás asuntos por el estilo. Luego, si el tiempo nos lo permite -creemos que sí-, hablaremos de trabajos posteriores al de Takeuti. Para esto dejaremos en esta entrada algunas bibliografías que utilizaríamos para ello. Como una pequeña pincelada a esto, en [2] se estable un principio de tranferencia y se explora la pregunta de cómo los teoremas de ZFC se tendrán también en la teoría cuántica de conjuntos.

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Sobre la lógica cuántica: es cierto que es un tema muy amplio y complicado, afortunadamente los trabajos que presentaremos unicamente consideran las operaciones lógicas usuales $\neg, \wedge, \vee, \bigwedge, \bigvee$ en la lógica cuántica.